분배함수(Partition Function)

1. 열역학에서의 분배함수

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2. 분배함수의 통계학적 해석

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분배함수 $Z$는 moment generating function의 일종이다. 정확히는 에너지(해밀토니안)에 대한 MGF이다. 조금 더 정확히는 다음과 같이 표현된다.

$$Z=e^{-\beta F}$$

일반적으로 MGF에서 $\log$를 씌워 얻은 CGF로부터 여러 물리량을 얻을 수 있듯이, 분배함수에서도

즉,

2.1. 여러 시스템에서의 분배함수 예시

주어진 시스템의 에너지 준위로부터 분배함수를 얻어내어,

2.1.1. 2-레벨 시스템

여기에서 에너지 준위는 $E\in \{\Delta /2,-\Delta /2\}$이다. 따라서 $Z$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$Z=e^{\beta \Delta /2}+e^{-\beta \Delta /2}=2\cosh \left(\frac{\beta \Delta }{2}\right)$$

2.1.2. 단순 조화 진동자

여기에서 에너지 준위는 $E=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash w$이다. 따라서 $Z$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}Z& =\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash w}\\ & =e^{-\beta \cdot \frac{1}{2}\hslash w}\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-n\beta \hslash w}\\ & =\frac{e^{-\frac{1}{2}\beta \hslash w}}{1-e^{-\beta \hslash w}}\end{array}$$

2.1.3. $n$-레벨 시스템

여기에서 에너지 준위는 $E=n\hslash w$ ($n\in \{0,1,\cdots ,N-1\}$)이다. 따라서 $Z$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}Z& =\sum _{j=0}^{N-1}{e}^{-j\beta \hslash w}\\ & =\frac{1-e^{-N\beta \hslash w}}{1-e^{-\beta \hslash w}}\end{array}$$

2.1.4. 회전 에너지 레벨

여기에서 에너지 준위는 $E_J=\frac{{\hslash }^2}{2I}J(J+1)$이다. 따라서 $Z$는 다음과 같이 구할(?) 수 있다.

$$Z=\sum _{J=0}^{\infty }(2J+1)e^{-\beta {\hslash }^{2}J(J+1)/2I}$$

여기서 앞의 계수가 $(2J+1)$인 이유는 겹침 때문이다.

2.2. 이상기체에서의 분배함수를 통한 물리량 도출