1. 개요

1.1. 배경

자석의 자성을 만드는 것은 전자의 스핀(spin)이다. 따라서 자성을 모델링하기 위해서는 전자의 스핀을 모델링할 필요가 있는데, 이를 가장 간단히 나타낸 통계역학적 모델이 바로 이징 모형이다. 이징 모형에서는 다음(2차원 이징 모형)과 같이 격자 공간에 서로 상호작용하는 전자가 나열되어 있다고 본다.

이징 모형은 통계역학이나 고체물리 모델을 이해하는 데에 자주 사용되지만, 이외에도 그래프의 형태를 띠는 여러 모델에도 적용이 가능하다.

1.2. 기본 수식

이징 모형에서는 $k$ 번째( $k \in Λ$ ) 전자의 스핀 $σ_{k}$ 를 $σ_{k} \in {- 1, + 1}$ 의 집합에 포함된 값으로 이해할 수 있다. $σ_{k}$ 는 자료에 따라 $\frac{1}{2}$ 단위로 쓰기도 하는데, $J_{ij}$ 와 $h_{j}$ 를 scaling하면 되니까 별 상관은 없다. 또한, 전자 간의 상호작용은 두 전자 $i$ , $j$ 에 대해 $J_{ij}$ 와 같이 나타낸다. 즉, 모든 파라미터 $J_{ij}$ 를 모은 $J$ 는 행렬이다. 이때, 전자 간의 상호작용은 멀수록 미미하므로 인접한 전자에 대해서만 $J_{ij}$ 값이 존재한다고 가정한다.

이때 각 위치 $j$ 에 작용하는 외부 자기장을 $h_{j}$ 라고 하면, 해밀토니안을 다음과 같이 기술할 수 있다.

H (σ) = - < i, j > \sum J_{ij} σ_{i} σ_{j} - μ j \sum h_{j} σ_{j}

이때 $μ$ 는 자기 모멘트이다.

1.2.1. 관전 포인트(?)

모든 위치에 대해 외부 자기장 $h_{j}$ 가 없는 경우 다음과 같이 단순화할 수 있는데, 많이 쓰인다.

H (σ) = - < i, j > \sum J_{ij} σ_{i} σ_{j}

$J_{ij}$ 의 부호를 물리학적으로 해석할 수 있다. 쉽게 말하면 이는 ‘동기화되는 정도’에 해당하므로, $J_{ij}$ 가 양수이면 강자성(ferromagnetic), 음수이면 반강자성(antiferromagnetic)으로 이해할 수 있다.
볼츠만 분포 개념을 이용해 해밀토니안으로부터 다음의 수식을 얻을 수 있다. 이때 $β = 1/ (k_{B} T)$ 이다.

P_{β} (σ) = \frac{e ^{- β H (σ)}}{Z _{β}}, Z_{β} = σ \sum e^{- β H (σ)}

2. 1차원 이징 모형

1차원 이징 모형은 해석적인 해가 존재한다는 사실이 알려져 있다. 사실 알려져 있다는 표현보단 이 풀이가 곧 이징 모형의 시작이라고 보는 것이 좋다. 1차원 이징 모형을 풀어낸 Ernest Ising의 이름을 따서 이징 모형이라고 부르는 것이기 때문이다.

여담으로는, 계산 결과를 보면 알겠지만 1차원 이징 모형에서는 상전이(phase transition) 가 일어나지 않는다. Ising 또한 이를 보이기 위해 이 풀이를 시도한 것인데, 그의 예측과 달리 2차원에서는 상전이가 일어난다.

2.1. 가정

1차원 이징 모형이란 앞에서 설명한 전자의 격자 구조가 1차원 나열인 경우이다. 즉, 양 옆에 붙어있는 두 전자와의 상호작용만이 존재하는 그래프이다.

대충 위의 그림과 같은 시스템이라고 이해하면 된다.

다만 실제로는 위와 같이 양쪽 끝의 전자끼리 이어져 있는 고리(ring) 구조를 가정한다. 이는 무한대의 길이를 가정하는 것과 관련이 있는데, 이 가정은 나중에 해석적으로 해를 도출할 때 주효하게 작용한다.

2.2. 풀이

최종적으로 다음과 같은 분배함수 $Z$ 를 얻는다.

Z \sim λ_{1}^{N} = [e^{β J} cosh (β h) + e^{2 β J} sinh^{2} (β h) + e^{- 2 β J}]^{N}

3. 전산 시뮬레이션

Metropolis-Hastings Algorithm

4. 적용

참고문헌

[1] Wikipedia

[2] 나무위키

Seongsu

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이징 모형(Ising Model)